不等式

1) Cauchy

$$a_1b_1+a_2b_2+\cdots+\leq \sqrt{a_1^2+a_1^2+\cdots+a_n^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2}$$ 这个不等式蕴含事实：如果$\sum_{k=1}^{\infty}a_k^2$和$\sum_{k=1}^{\infty}b_k^2$有限那么$\sum_{k=1}^{\infty}|a_kb_k|$有限。

根据这个蕴含关系，二元的时候最简单的关系是线性不等式 $$xy\leq C(x^2+y^2)$$ 从$0\leq(x-y)^2\Rightarrow xy\leq\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2$所以$C=\frac{1}{2}$

上面不等式诱导$k$个不等式然后相加，单位化后得到两个单位向量$\hat{a}_k^2$和$\hat{b}_k^2$有 $$\sum_{k=1}^\infty |\hat{a}_k\hat{b}_k|\leq \frac{1}{2}\sum_{k=1}^\infty \hat{a}_k^2+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^\infty \hat{b}_k^2=1$$ 恢复单位化以前，得Cauchy不等式 $$\sum_{k=1}^\infty \left\{a_k /(\sum_j a_j^2)^{1/2} \right\} \left\{ b_k /(\sum_j b_j^2)^{1/2} \right\} \leq 1$$ 上面的过程说明单位化给出了一种系统的方法从加法不等式到乘法不等式。 单位化后的不等式集合意义是单位向量的点积总小于1。

2) AM-GM Bound

$(x-y)^2\geq 0$展开后用$x, y$的平方根代替$x, y$后有 $$4\sqrt{xy} < 2x + 2y$$ 把$x,y$看成矩形的边，左边是同面积的正方形的周长，右边是$x,y$矩形的周长。

$y=1+x$是函数$y=e^x$切线，而且其图像总在$y=e^x$的图像的下方，即 $$1+x\leq e^x$$ 代入变量替换$x\mapsto x-1$得 $$x\leq e^{x-1}$$ 对$a_k$和$p_k$可得不等式 $$a_k^{p_k}\leq e^{p_ka_k-p_k}$$ $n$个不等式相乘得 $$a_1^{p_1}a_2^{p_2}\cdots a_n^{p_n}\leq e^{\sum p_ka_k-1}$$ 用$a_k/A = a_k/(p_1a_1+\cdots+p_2a_2)$代替$a_k$，不等式的右边变为1，得 $$(\frac{a_1}{A})^{p_1}(\frac{a_2}{A})^{p_2}\cdots (\frac{a_n}{A})^{p_n}\leq 1$$ 两边乘以$A^1=A^{p_1+\cdots+p_n}$得AM-GM不等式 $$a_1^{p_1}a_2^{p_2}\cdots a_n^{p_n}\leq p_1a_1+p_2a_2+\cdots+p_na_n$$

函数空间

紧度量空间$M$上的连续函数构成的空间记为$C(M)$，定义度量 $$d(f, g)=\sup\{|f(x)-g(x)|, x\in M\}$$ 这个度量称为uniform metric，其意义下的收敛是函数序列的一致收敛。

可分是可数的推广，可分空间存在一个可数的稠密子集。

$C[a, b]$中的元素是有限闭区间上的连续函数，有限闭区间上连续蕴含绝对黎曼可积。

向量空间$X$上的两个norm称为等价的，如果存在正实数$\alpha, \beta$对所有的$f\in X$满足 $$\alpha\|f\|_a\leq \|f\|_b \leq \beta\|f\|_a$$ 如果两个norm等价，在一个norm下收敛的序列在另一个norm下也收敛。有限维空间里所有的norm都等价。$(X, \|\cdot\|)$完备的意思是所有的柯西序列收敛称为Banach Space，有限维空间对一个norm完备则对所有的可能的norm完备，因为都等价。

定义$C^n[a, b]$为至少有$n$阶连续导数的函数的空间，其上可以定义norm $$\|f\|_{1,\infty}=\sup_{x\in [a, b]}|f(x)|+\sup_{x\in [a, b]}|f^\prime(x)|$$ 或者 $$\|f\|_{1,1}=\int_{[a, b]}\left\{|f(x)|+|f^\prime(x)|\right\}dx$$ $L^1[a, b]$是$[a, b]$上所有Lebesgue可积函数构成的空间，定义norm $$\|f\|_1=\int_{[a, b]}|f(x)|dx$$ $(L^1[a, b], \|\cdot\|_1)$是banach space，这个norm是类比欧式空间中的坐标norm(坐标差的绝对值的最大值)。
类似欧式距离的范数是 $$\|f\|_2=\left\{\int_{[a, b]}|f(x)|^2dx\right\}^{1/2}$$ Holder's Inequality：$F, G\in L^p[a, b]$，并且$1/p+1/q=1$那么 $$\|FG\|_1\leq \|F\|_p\|G\|_q$$ Minkowski's Inequality：$F, G\in L^p[a, b]$，那么$F+G\in L^p[a, b]$ $$\|F+G\|_p\leq \|F\|_p+\|G\|_p$$ Theorem：如果$1\leq p_1\leq p_2$，那么$L^{p_2}[a, b]\subseteq L^{p_1}[a, b]$，因为 任取$f\in L^{p_2}[a, b]$有 $$\|f\|_{p_1}\leq \|f\|_{p_2}(b-a)^{1/p_1-1/p_2}$$

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$l^\infty$是无穷序列构成的空间其中的元素满足收敛条件$\sum_{n=1}^\infty x_n^p < \infty$其中$1 \leq p < \infty$。取摸为 $$\|\{x_n\}\|=\sup\{|x_n|\}$$

非闭线性子空间的例子：考虑只有有些个元素非零的序列构成的子集，这个集合是$l^\infty$的线性子空间，而且不是闭的。
Baire Category Theorem

稠密的另一个定义：和任何一个开集都相交。

Baire Category Theorem：如果完备度量空间$X$可以表达成可数个闭子集的并，即$X=\cup_{k=1}^\infty F_k$，那么至少有一个闭子集$F_k$包含一个非空的开集。