离散化：一个数学期望的引理

引理：\(Y\)是一个非负的连续随机变量，那么\(Y\)的期望
$$E[Y]=\int_0^\infty P\{Y > y\}dy$$
证明的方法是利用交换积分的技巧。不过我们先考虑离散的情况。


\(X\)是一个离散的随机变量，\(P\{X = i\} = p_i\)，那么\(X\)的期望可以写成：
$$\begin{array}{lcr}
E[X] &=& 1p_1 + 2p_2 + 3p_3 + \cdots + np_n \\
&=& 1p_1 + 1p_2 + 1p_3 + \cdots + 1p_n \\
& & + 1p_2 + 1p_3 + \cdots + 1p_n \\
& & + 1p_3 + \cdots + 1p_n \\
& & + \cdots + 1p_n \\
& & + 1p_n \\
\end{array}$$
把三角形竖着求和得到期望的定义表达方式， 如果每行求和，然后再求和得另一种表达方式
$$\sum_{j=1}^n\sum_{i=j}^nP_i=\sum_{j=1}^nP\{X\geq j\}$$