离散化：差分

微分

定义函数的差分：
$$\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$$
类比指数函数的导数
$$\frac{d}{dx}x^m=mx^{m-1}$$
差分对falling power有类似的公式(对负的m<-1也成立)：
$$\Delta x^{\underline{m}}=mx^{\underline{m-1}}$$
其中falling power \(x^{\underline{m}}\)定义为：
$$x^{\underline{m}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-(m-1))$$

\(m=-1\)的时候，调和数列的差分是\(\frac{1}{x+1}\)

积分

如果\(\Delta F(x)=f(x)\)，显然\(F(x)\)是可以差一个常数\(C\).\(F(x)\)类似\(f(x)\)的积分。回忆对连续函数的定积分公式，公式的一边是积分在两个边界取值的差，一边实际是一个和式。
$$diff=F(b)-F(a)=\int_a^bf(x)dx=sum$$
对差分有类似的公式, \(\Delta F(x)=f(x)=F(x+1)-F(x)\)：
$$F(b)-F(a)=\sum_{x=a}^{b-1}f(x)$$

指数函数\(e^x\)
对差分来说，\(2^x\)有类似的导数性质：
$$\Delta 2^x=2^{x+1}-2^x=2^x$$

分部积分
在微积分里分部积分是从乘积的导数推出的方法，对差分来说，乘积的差分有下面公式：
$$\Delta(u(x)v(x))=v(x+1)\Delta u(x)+u(x)\Delta v(x)$$