函数空间

紧度量空间$M$上的连续函数构成的空间记为$C(M)$，定义度量 $$d(f, g)=\sup\{|f(x)-g(x)|, x\in M\}$$ 这个度量称为uniform metric，其意义下的收敛是函数序列的一致收敛。

可分是可数的推广，可分空间存在一个可数的稠密子集。

$C[a, b]$中的元素是有限闭区间上的连续函数，有限闭区间上连续蕴含绝对黎曼可积。

向量空间$X$上的两个norm称为等价的，如果存在正实数$\alpha, \beta$对所有的$f\in X$满足 $$\alpha\|f\|_a\leq \|f\|_b \leq \beta\|f\|_a$$ 如果两个norm等价，在一个norm下收敛的序列在另一个norm下也收敛。有限维空间里所有的norm都等价。$(X, \|\cdot\|)$完备的意思是所有的柯西序列收敛称为Banach Space，有限维空间对一个norm完备则对所有的可能的norm完备，因为都等价。

定义$C^n[a, b]$为至少有$n$阶连续导数的函数的空间，其上可以定义norm $$\|f\|_{1,\infty}=\sup_{x\in [a, b]}|f(x)|+\sup_{x\in [a, b]}|f^\prime(x)|$$ 或者 $$\|f\|_{1,1}=\int_{[a, b]}\left\{|f(x)|+|f^\prime(x)|\right\}dx$$ $L^1[a, b]$是$[a, b]$上所有Lebesgue可积函数构成的空间，定义norm $$\|f\|_1=\int_{[a, b]}|f(x)|dx$$ $(L^1[a, b], \|\cdot\|_1)$是banach space，这个norm是类比欧式空间中的坐标norm(坐标差的绝对值的最大值)。
类似欧式距离的范数是 $$\|f\|_2=\left\{\int_{[a, b]}|f(x)|^2dx\right\}^{1/2}$$ Holder's Inequality：$F, G\in L^p[a, b]$，并且$1/p+1/q=1$那么 $$\|FG\|_1\leq \|F\|_p\|G\|_q$$ Minkowski's Inequality：$F, G\in L^p[a, b]$，那么$F+G\in L^p[a, b]$ $$\|F+G\|_p\leq \|F\|_p+\|G\|_p$$ Theorem：如果$1\leq p_1\leq p_2$，那么$L^{p_2}[a, b]\subseteq L^{p_1}[a, b]$，因为 任取$f\in L^{p_2}[a, b]$有 $$\|f\|_{p_1}\leq \|f\|_{p_2}(b-a)^{1/p_1-1/p_2}$$

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$l^\infty$是无穷序列构成的空间其中的元素满足收敛条件$\sum_{n=1}^\infty x_n^p < \infty$其中$1 \leq p < \infty$。取摸为 $$\|\{x_n\}\|=\sup\{|x_n|\}$$

非闭线性子空间的例子：考虑只有有些个元素非零的序列构成的子集，这个集合是$l^\infty$的线性子空间，而且不是闭的。
Baire Category Theorem

稠密的另一个定义：和任何一个开集都相交。

Baire Category Theorem：如果完备度量空间$X$可以表达成可数个闭子集的并，即$X=\cup_{k=1}^\infty F_k$，那么至少有一个闭子集$F_k$包含一个非空的开集。