条件期望

0) 条件期望计算的一个前提条件是，用于条件的概率是可以计算的。

条件期望$$E(X|Y)$$是r.v. $Y$的函数，所以也是个随机变量。这个r.v.的一个性质的是它的期望和$X$的期望相等。

我们知道r.v.$X$带了了底部概率空间的一个划分，划分的每个子集里，$X$的取值是一样的。加入另一个r.v. $Y$带来了底部概率空间的另一个划分，对这个划分我们定义了条件期望，也就是在$Y$带了的划分上对$X$求期望。

$Y$只是提供了底部概率空间的划分，其取值并不影响条件期望的值，只要$P(Y\in \text{subset})$不变，如果两个$Y$提供同样的划分，那么得的条件期望并不变。

1) 条件期望

对一个r.v. $X$，对事件$B$的条件期望是 $$E(X|B)=\frac{1}{P(B)}\int_B X dP$$ 一个r.v.对另一个离散r.v.的条件期望定义为 $$E(X|Y)(\omega)=E(X|{Y=y_n}),\quad \text{ if }Y(\omega)=y_n$$ 一个r.v.对一个B.F.的条件期望定义：$X$是概率空间$(\Omega, \mathcal{F}, P)$上的r.v.，$\mathcal{G}$是一个B.F.，并且$\mathcal{G}\subseteq \mathcal{F}$，那么$X$对$\mathcal{G}$的条件期望为一个r.v.，满足
(i)$\mathcal{G}\text{-measurable}$
(ii)对$\mathcal{G}$中的任意元素$A$有 $$\int_A E(X|\mathcal{G})dP=\int_A X dP$$

2) Conditioning

当Conditioning到另一个r.v.的时候，比如计算$E(X)=E( E(X|Y) )$，第一种看法是根据$Y$的分布，计算各个$E(X|Y)$，另一种看法是把$Y$看成已知，直接算出$E(X|Y)$。

例子：抛硬币，假设正面朝上的概率是$p$，当得到$k$次连续的正面的时候实验结束。计算需要的次数的期望。 令$N_k$为需要的次数，考虑 $$E(N_k|N_{k-1})=N_{k-1}+\left[ 1p + (1+E(N_k))(1-p) \right]$$ 这里是把$N_{k-1}$看成已知，然后观察后面的实验。