和式

1) 和式有两种写法 $$\sum_{k=1}^na_k\quad \text{and} \quad \sum_{1\leq k \leq n}a_k$$ 换句话说，一种是index，一种是集合。因为和式并不关心相加的顺序，所以集合的写法更准确的捕捉了和式的含义，并且，集合写法有时候更方便，因为集合的变换更容易理解。

比如index变量的替换，现在把$k$变$k+1$，集合的写法是 $$\sum_{1\leq k \leq n}a_k=\sum_{1\leq k+1 \leq n}a_{k+1}$$ 而index写法，必须修改上下边界常数。

2) 集合的indicator与和式

如果把indicator记为$[p(k)]$其中$p$的含义是property，如果k index的term具有property $p$那么$[p(k)]=1$否则$[p(k)]=0$。

和式可以写成 $$\sum_k a_k [p(k)]$$ 比如小于等于$N$的所有的素数的倒数之和记为 $$\sum_k[k \text{ is prime}][k \leq N]\frac{1}{k}$$

3) 和式与递归

$$ \begin{array}{l} &S_0=a_0\\ &S_n=S_{n-1}+a_n \end{array}\tag{1} $$ 简单形式的$a_n$决定的简单形式的$S_n$

假设$a_n$具有简单的形式 $$ \begin{array}{l} &a_0=\alpha\\ &a_n=\beta+\gamma n \end{array} $$ 假设$S_n$的封闭形式是 $$S_n=A(n)\alpha+B(n)\beta+C(n)\gamma$$

我们知道递归公式和$S_n$的封闭形式一一对应，这点可以通过归纳法证明，所以如果给出一个封闭形式，可以推出递归公式里的量$\alpha, \beta, \gamma $，

再通过我们假设的和式的，可以得到一个恒等式，两边都是刚才给出的封闭形式

$$S_n=1 \Rightarrow \alpha=1, \beta=0, \gamma=0 \Rightarrow 1=A(n)$$ 同样的 $$S_n=n \Rightarrow \alpha=0, \beta=1, \gamma=0 \Rightarrow n=B(n)$$ 进一步 $$S_n=n^2 \Rightarrow \alpha=0, \beta=-1, \gamma=2 \Rightarrow n^2=-B(n)+2C(n)$$ 第一个$\Rightarrow$是因为$a_n$形式的假设，第二个是因为$S_n$形式的假设。

递归化为和式得封闭形式

观察和式的递归形式，第二个式子特点是$S_n$和$S_{n-1}$的系数都为1，剩下的一个项是$a_n$。

对于一般的递归公式 $$a_nT_n=b_nT_{n-1}+c_n$$ 如果能在这个式子两边乘一个n的函数$s_n$，化为式子(1)的形式，比较我们可以得和式的$a_n$，然后把和式写成 $$S_n=\sum a_k$$ 计算得到$S_n$后，从里面除去$s_na_n$得到$T_n$。

因子$s_n$可以通过关系 $$s_nb_n=s_{n-1}a_{n-1}$$ 或者 $$s_n=s_{n-1}\frac{a_{n-1}}{b_n}$$ 得到。

4) 合并两个和式

$$\sum_{k\in K}a_k + \sum_{k'\in K'}a_{k'}=\sum_{k\in K\cap K'}a_k+\sum_{k\in K\cup K'}a_k$$

5) 得和式$S_n$的递归的一个方法

利用恒等式 $$\sum_{k=0}^na_k+a_{n+1}=a_0+\sum_{k=1}^{n+1}a_k$$ 如果能化为 $$S_n+a_{n+1}=a_0+F(S_n)$$ 例如等比数列和式$S_n=\sum_{k=0}^nax^k$ $$F(S_n)=xS_n$$

5) $S=\sum_{1\leq j\leq k\leq n}a_ja_k$

$$ \begin{array}{l} 2S&=\sum_{1\leq j\leq k\leq n}a_ja_k+\sum_{1\leq k\leq j\leq n}a_ja_k\\ &=\sum_{1\leq j,k\leq n}a_ja_k+\sum_{1\leq j=k\leq n}a_ja_k\\ &=(\sum_{1\leq k\leq n}a_k)^2+\sum_{1\leq k\leq n}a^2_k \end{array} $$

6) $S=\sum_{k=0}^n k^2$

利用高一级和式的恒等式$k^3$ $$\sum_{k=0}^n k^3+(n+1)^3=\sum_{0\leq k\leq n+1} k^3=\sum_{0\leq k+1\leq n+1} (k+1)^3$$ 也就是 $$\sum_{0\leq k\leq n} (k+1)^3=\sum_{0\leq k\leq n} (k^3+3k^2+3k+1)$$ 消去$\sum_{k=0}^n k^3$解代数方程可得需要的和式。

递归

1)The Tower of Hanoi

$T_n$定义为，在规则下，把$n$个disk从一个peg移到另一个peg，另外两个peg里的任何一个。对$n+1$的时候，把最上面的$n$个看成一个整体，可得递归关系 $$ \begin{array}{l} T_0=0\\ T_n=2T_{n-1}+1\quad n > 0 \end{array} $$ 递归可以这样解，两边加1 $$T_n+1=2(T_{n-1}+1)$$ 2) 直线分平面

考虑加入第$n$条线的时候，最多能增加几个区域？
1. 增加的区域是把原来的某个区域一分为二，
2. 如果要分某个老区域，新的线必然至少要和这个区域的边界相交一次。
3. 如果交点是$k$个，那么新区域是$k+1$个，因为每个交点和一个老线相关，而每个老线必然是两个老区域的边界，这两个区域都被分了，但是有些老区域被计数两次，这些被计数两次的老区域的特点是他们的两个边界是和新线相交的老线，因为区域全是凸的，如果一条直线和一个凸区域的边界相交两次，那么必然只相交两次。对新线来说，和一个区域相交两次，这两个交点必然相邻(因为区域中间是没有老线的)，反过来所有相邻交点必然是和一个老区域交了两次。总之，$k$个交点，新区域的个数是$2k-(k-1)$。
4. 显然新加入一条线，交点最多有$n-1$个。

所以递归关系是 $$ \begin{array}{l} T_0=0\\ T_n=T_{n-1}+n\quad n > 0 \end{array} $$ 3) Josephus Problem

n个人围一圈，第一轮kill掉编号为2的倍数的人，重新编号第二轮再kill掉编号为2的倍数的人，直到只剩一个人，求这个人开始的编号。

递归是把原始问题通过某种变化转变成较小的同样描述的问题，然后找出两个问题解的关系，上面的问题自然的给出了大问题变小问题的过程

用$J(n)$记$n$个人中剩下的那个人的编号，第一轮过后，得到较小的问题$J(m)$记为这个人在第二轮里的编号，这个人在第一轮的编号，可以由$J(m)$算出可得两个问题的关系，但是n为奇数或者偶数的时候关系并不一样。 $$ \begin{array}{l} J(1)&=1\\ J(2n)&=2J(n)-1\\ J(2n+1)&=2J(n)+1 \end{array} $$ 解为 $$J(2^m+l)=2l+1$$ 这个关系有个性质：$2^m+l$的二进制表达，做循环左移得$2l+1$。

考虑一般的递归公式 $$ \begin{array}{l} f(1)&=\alpha\\ f(2n)&=2f(n)+\beta_0\\ f(2n+1)&=2f(n)+\beta_1 \end{array} $$ 先假设$f(n)$的表达式为 $$f(n)=A(n)\alpha+B(n)\beta_0+C(n)\beta_1$$ 4) 长度为n的三进制数，其中0的个数为奇数的个数

记这样的三进制数为$b_n$个,按最后一位的情况分类 $$b_n=b_{n-1}+b_{n-1}+(3^{n-1}-b_{n-1})$$

Lie Theory

二维旋转

令 $$z_\theta=\cos{\theta} + i \sin{\theta}$$ 那么 $$ \begin{array}{ll} z_\theta(x+iy) &=x\cos{\theta}-y\sin{\theta}+i(x\sin{\theta} + y\cos{\theta})\\ &= (1\ \ i) \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & -\sin{\theta}\\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) \end{array} $$ 注意到 $$ \begin{array}{ll} \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & -\sin{\theta}\\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right)^{-1} &=\frac{1}{\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}} \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & \sin{\theta}\\ -\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right) \\ &=\left( \begin{array}{cc} \cos{-\theta} & -\sin{-\theta}\\ \sin{-\theta} & \cos{-\theta} \end{array} \right) \end{array} $$ 上面的过程把复数$z_\theta$对应到矩阵$\left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & -\sin{\theta}\\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right)$，矩阵记为$R_\theta$。

反过来 $$ \begin{array}{ll} R_\theta &=\cos{\theta} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) + \sin{\theta} \left( \begin{array}{cc} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} $$ 更一般的 $$ \begin{array}{ll} \left( \begin{array}{cc} a & -b\\ b & a \end{array} \right) &=a \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) + b \left( \begin{array}{cc} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} $$ 这样得到了一个任意复数表达为矩阵的方法，可以验证这种表达方式满足很多复数的运算规则比如$z_1z_2, z^{-1}$和$|z|$。

4元数

当维度n大于2的时候没有类似复数一样的代数结构，但是4维的时候可以定义4元数，满足基本的算术规则，但是不满足交换律。把4元数组$(a, b, c, d)$对应到矩阵 $$ \left( \begin{array}{cc} a+id & -b-ic\\ b-ic & a-id \end{array} \right) $$ 可以验证加法和乘法结果是同样的矩阵形式，而且矩阵的行列式是$a^2+b^2+c^2+d^2$

上面的矩阵可以写成 $$ a\left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) + b\left( \begin{array}{cc} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array} \right) + c\left( \begin{array}{cc} 0 & -i\\ -i & 0 \end{array} \right) + d\left( \begin{array}{cc} i & 0\\ 0 & -i \end{array} \right) $$ 或者写成 $$a+b\ \textbf{i}+c\ \textbf{j}+d\ \textbf{k}$$ 纯虚4元数对加法封闭，对乘法的规则很有意思 $$ \begin{array}{cc} &(u_1\ \textbf{i}+u_2\ \textbf{j}+u_3\ \textbf{k})(v_1\ \textbf{i}+v_2\ \textbf{j}+v_3\ \textbf{k})\\ =&-(u_1, u_2, u_3)\cdot \left( \begin{array}{cc} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array} \right) + (u_1, u_2, u_3)\times(v_1, v_2, v_3) \left( \begin{array}{cc} \textbf{i} \\ \textbf{j} \\ \textbf{k} \end{array} \right) \end{array} $$ 4元数的矩阵表示的转置和复共轭为 $$ \overline{ \left( \begin{array}{cc} a+id & -b-ic\\ b-ic & a-id \end{array} \right)}^T = \left( \begin{array}{cc} a-id & b+ic\\ -b+ic & a+id \end{array} \right) $$ 换种写法 $$ \begin{array}{ll} &a\left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) + b\left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{array} \right) + c\left( \begin{array}{cc} 0 & i\\ i & 0 \end{array} \right) + d\left( \begin{array}{cc} -i & 0\\ 0 & i \end{array} \right) \\ =&a\left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) - b\left( \begin{array}{cc} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array} \right) - c\left( \begin{array}{cc} 0 & -i\\ -i & 0 \end{array} \right) - d\left( \begin{array}{cc} i & 0\\ 0 & -i \end{array} \right) \end{array} $$ 这是4元数的共轭的定义。

4元数空间里的$S^3$上的4元数和3维旋转

任何一个4元数都诱导了一个4元数空间的一个旋转，但是这个一般性的旋转并没有方便的3维不变子空间。考虑另一种变换，这种变换的特点是4元数空间的纯虚3维子空间是不变子空间。令$t$为单位4元数，conjugation by t是mapping $$q\mapsto t^{-1}qt$$ 定理：$t$可以写成$t=\cos\theta+u\sin\theta$，其中$u$是纯虚单位4元数。那么conjugation by t是一个4元数空间的等距变换，并且这个变换在纯虚空间的一个旋转，旋转是绕$u$角度为$2\theta$的旋转。

conjugation by t和conjugation by -t是同一个等距变换，变换的inverse是$t=\cos(-\theta)+u\sin(-\theta)$，也就是在纯虚空间的旋转是同样的$u$但是角度是$-2\theta$。

旋转的乘法定义如下，令$t_1,t_2$是单位4元数，先转$t_1$后转$t_2$表达为 $$q\mapsto t_2^{-1}(t_1^{-1}qt_1)t_2=(t_1t_2)^{-1}q(t_1t_2)$$ 因为$(t_1t_2)$依然是一个单位4元数，所以乘法的结果是conjugation by $(t_1t_2)$。

射影空间

构造$\mathbb{RP}^1$，令$z_\alpha=\cos\alpha+i\sin\alpha$，则$z_\alpha$是$S^1$上的一个点，所有的形式为$\{\pm z_\alpha\}$的元素的集合构成一个群，乘法定义为 $$ \{\pm z_\alpha\} \{\pm z_\beta\} = \{\pm (z_\alpha z_\beta)\} $$ 这种乘法的定义下，映射 $$\{\pm z_\alpha\} \mapsto (\pm z_\alpha)^2 $$ 这是$\mathbb{RP}^1$到$S^1$的一个同构。$\pm z_\alpha$对应了两个角度和$\alpha, \pi+\alpha$，上面的映射映到$2\alpha, 2\pi + 2\alpha$，这两个角度对应$S^1$上的同一个点。

$SU(2)$和$SO(3)$

$S^n$里只有$S^1$和$S^3$是Lie Group，上面的结论，conjugation by t和conjugation by -t完全相同，记为 $$\{\pm t\}\in \mathbb{RP}^3$$ 上面也建立了$\mathbb{RP}^3$和$SO(3)$之间的一一对应。

$SU(2)$ (special unitary group)，是上面4元数矩阵，并且行列式为1。因为行列式同时也是4元数的模，这样建立了$SU(2)$和$S^3$之间的一一对应。

总结为下面的图 $$ \begin{array}[c]{ccc} S^3&\stackrel{t\mapsto \{\pm t\}}{\longrightarrow}&\mathbb{RP}^3\\ \updownarrow\scriptstyle{}&&\\ SU(2)&\stackrel{t\mapsto \text{conjugation by} \pm t}{\longrightarrow}&SO(3) \end{array} $$

Classical Mechanics

To some extent, the selection of a group of basic concepts, in terms of which others are to be defined, is a matter of choice. We have chosen to regard position and time (relative to some frame of reference) as basic. From this point of view, Newton’s laws must be regarded as containing definitions in addition to physical laws. The first law contains the definition of an inertial frame, together with the physical assertion that such frames exist, while the second and third laws contain definitions of mass and force. These laws, supplemented by the laws of force, such as the law of universal gravitation, provide the equations from which we can determine the motion of any dynamical system.

一维运动并且$F$只依赖于位置的情况

如果$F=m\ddot{x}$是force的定义，其他的物理规律例如law of universal gravitation会给出一个$F(x)$的函数，任何在这个law约束下的运动满足方程$m\ddot{x}=F(x)$。

对任何一个具体的运动，显然$T$是时间的函数，考虑在这种力的作用下动能$T=\frac{1}{2}m\dot{x}^2$的变化规律，对时间求导: $$\frac{dT}{dt}=m\dot{x}\ddot{x}=F(x)\dot{x}$$ 现在选定一个时间为起点0，计算$t$时间后动能的变化 $$T_t-T_0=T|_0^t=\int_0^t \frac{dT}{dt}dt$$ 把上面的动能和力函数的关系代入可得 $$T_t-T_0=\int_0^t \frac{dT}{dt}dt=\int_0^t F(x)\dot{x}dt=\int_{x_0}^{x_t} F(x)dx$$ 如果定义势能为 $$V(y)=-\int_{x_0}^{y} F(x)dx$$ 可得 $$T_t+V(x_t)=T_0=\text{const}$$ 注意按势能的定义，$x_0$点的势能为0，也就是说在$x_0$点能量全是动能$T_0$。

这个关系是在上面描述的$F(x)$的约束下的任何运动都满足的。守恒定律有些推论，比如因为动能不能为负，所以运动的势能不会无止境的增加。而势能是位置的函数，所以如果一个运动的动能在某个时刻或者某个位置已知，那么这个运动就会只能在固定的区域，这个区域就是势能小于某个值(任一时刻的动能加势能也就是总能量)。势能是位置的函数，所以这个区域可以表达成方程$$V(x) \leq E$$

$m\ddot{x}=F$左边是second laws对force的定义，右边是根据其他关于force的定律决定的函数，这是一个二次微分方程，首次积分是对原方程积分一次去掉二次导数由原微分方程得到的等式。

平衡位置

定义是受力为0的位置，根据势能的定义，也就是$\frac{dV(y)}{dy}=0$的位置，在势能定义的公式里面$x_0$的选择具有任意性，我们可以选择考察中的位置为$x_0$，也就是这点的势能是0。根据平衡位置的定义，对位置的一阶导数也是0。所以平衡位置附近的级数展开看起来是个好主意。 $$V(x)=\frac{1}{2}x^2V''(0)+o(x^3)\tag{1}$$ 这里$x$是对平衡位置的偏移。

不考虑高阶无穷小(只在平衡位置附近这样近似)，这是抛物线的方程，如果$V''(0) > 0$开口向上，对应平衡点附近是吸引力，反过来是排斥力。

根据势能$V$的定义是force $F$对位置的积分，反过来$V$关于位置的函数已知，方程$(1)$，对位置求导，可得$F$在平衡位置附近的表达式$F=-kx$，其中$k=V''(0)$，进一步加上second laws可得运动方程 $$m\ddot{x}+kx=0\tag{2}$$ 也就是说，如果我们知道了某个平衡位置附近势能关于位置的函数，平衡位置这个事实可以导出势能函数的一阶导数在这个平衡位置的值是0，计算这个位置的$V$的二阶导数得到$k$，这些信息足够我们得到这点附近的运动方程$(2)$。

方程可以写成 $$\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$$ 平衡位置显然有两种，对应引力和斥力，如果是引力，令$\frac{k}{m}=\omega^2$得 $$\ddot{x}+\omega^2x=0$$ 此微分方程的解为 $$x=a\cos(\omega t-\theta)$$ 上面的逻辑关系可以看出，这时候运动是一个周期性运动，其频率由势能在平衡位置的二阶导数唯一决定。并且上面的推理没有对势能函数的性质做出任何限制，所以适用于所有的引力平衡位置。

实际计算的过程是，1.得势能关于位置的函数。2.计算势能一阶导数为0的位置(平衡位置)3.计算这个位置的势能关于位置的函数的二阶导数值得到震动的周期。

数学和物理

描述一个运动，需要两个要素，某个时刻的位置和速度，为什么需要速度呢？难道不是位置对时间求导就得到速度了吗？需要速度的原因是：速度是位置关于时间的导数是一个规律，但是研究的对象不是所有可导函数，这个位置对时间的函数的形式受物理规律约束。

这些物理约束一般表现为置对时间的函数的一阶或者二阶导数的形式。比如如果force是位置的函数，根据second low可以得到加速度和位置的关系，加上一个约束。

First low告诉我们，虽然数学上速度是位置对时间函数的导数，但是这种函数在没有外力的情况下只能是线性函数，也就是物理对数学的约束是约束位置对时间函数的形式。

物理的约束是以是位置对时间函数的一阶或者二阶导数形式出现的，并不完全确定运动方程，所以要研究n多微分方程。

例子：单摆

重力分解为杆的方向和切向，杆的方向被平衡，剩下为$F=-mg\sin{\theta}$，$x$为圆弧的长度，因为速度只有切向的，根据势能$V$的定义 $$V(x)=-\int_{x_0}^{x_t}-mg\sin{(x/l)}dx=-mgl\cos{(x/l)}|_{x_0}^{x_t}$$ 如果取$x_0=0$有 $$V(x)=mgl[1-\cos(x/l)]$$

例子：两个电荷中间放一个电荷，三个极性都相同，可得一个震动