Lie Theory

二维旋转

令 $$z_\theta=\cos{\theta} + i \sin{\theta}$$ 那么 $$ \begin{array}{ll} z_\theta(x+iy) &=x\cos{\theta}-y\sin{\theta}+i(x\sin{\theta} + y\cos{\theta})\\ &= (1\ \ i) \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & -\sin{\theta}\\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) \end{array} $$ 注意到 $$ \begin{array}{ll} \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & -\sin{\theta}\\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right)^{-1} &=\frac{1}{\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}} \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & \sin{\theta}\\ -\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right) \\ &=\left( \begin{array}{cc} \cos{-\theta} & -\sin{-\theta}\\ \sin{-\theta} & \cos{-\theta} \end{array} \right) \end{array} $$ 上面的过程把复数$z_\theta$对应到矩阵$\left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & -\sin{\theta}\\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right)$，矩阵记为$R_\theta$。

反过来 $$ \begin{array}{ll} R_\theta &=\cos{\theta} \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) + \sin{\theta} \left( \begin{array}{cc} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} $$ 更一般的 $$ \begin{array}{ll} \left( \begin{array}{cc} a & -b\\ b & a \end{array} \right) &=a \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) + b \left( \begin{array}{cc} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array} \right) \end{array} $$ 这样得到了一个任意复数表达为矩阵的方法，可以验证这种表达方式满足很多复数的运算规则比如$z_1z_2, z^{-1}$和$|z|$。

4元数

当维度n大于2的时候没有类似复数一样的代数结构，但是4维的时候可以定义4元数，满足基本的算术规则，但是不满足交换律。把4元数组$(a, b, c, d)$对应到矩阵 $$ \left( \begin{array}{cc} a+id & -b-ic\\ b-ic & a-id \end{array} \right) $$ 可以验证加法和乘法结果是同样的矩阵形式，而且矩阵的行列式是$a^2+b^2+c^2+d^2$

上面的矩阵可以写成 $$ a\left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) + b\left( \begin{array}{cc} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array} \right) + c\left( \begin{array}{cc} 0 & -i\\ -i & 0 \end{array} \right) + d\left( \begin{array}{cc} i & 0\\ 0 & -i \end{array} \right) $$ 或者写成 $$a+b\ \textbf{i}+c\ \textbf{j}+d\ \textbf{k}$$ 纯虚4元数对加法封闭，对乘法的规则很有意思 $$ \begin{array}{cc} &(u_1\ \textbf{i}+u_2\ \textbf{j}+u_3\ \textbf{k})(v_1\ \textbf{i}+v_2\ \textbf{j}+v_3\ \textbf{k})\\ =&-(u_1, u_2, u_3)\cdot \left( \begin{array}{cc} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array} \right) + (u_1, u_2, u_3)\times(v_1, v_2, v_3) \left( \begin{array}{cc} \textbf{i} \\ \textbf{j} \\ \textbf{k} \end{array} \right) \end{array} $$ 4元数的矩阵表示的转置和复共轭为 $$ \overline{ \left( \begin{array}{cc} a+id & -b-ic\\ b-ic & a-id \end{array} \right)}^T = \left( \begin{array}{cc} a-id & b+ic\\ -b+ic & a+id \end{array} \right) $$ 换种写法 $$ \begin{array}{ll} &a\left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) + b\left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{array} \right) + c\left( \begin{array}{cc} 0 & i\\ i & 0 \end{array} \right) + d\left( \begin{array}{cc} -i & 0\\ 0 & i \end{array} \right) \\ =&a\left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right) - b\left( \begin{array}{cc} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array} \right) - c\left( \begin{array}{cc} 0 & -i\\ -i & 0 \end{array} \right) - d\left( \begin{array}{cc} i & 0\\ 0 & -i \end{array} \right) \end{array} $$ 这是4元数的共轭的定义。

4元数空间里的$S^3$上的4元数和3维旋转

任何一个4元数都诱导了一个4元数空间的一个旋转，但是这个一般性的旋转并没有方便的3维不变子空间。考虑另一种变换，这种变换的特点是4元数空间的纯虚3维子空间是不变子空间。令$t$为单位4元数，conjugation by t是mapping $$q\mapsto t^{-1}qt$$ 定理：$t$可以写成$t=\cos\theta+u\sin\theta$，其中$u$是纯虚单位4元数。那么conjugation by t是一个4元数空间的等距变换，并且这个变换在纯虚空间的一个旋转，旋转是绕$u$角度为$2\theta$的旋转。

conjugation by t和conjugation by -t是同一个等距变换，变换的inverse是$t=\cos(-\theta)+u\sin(-\theta)$，也就是在纯虚空间的旋转是同样的$u$但是角度是$-2\theta$。

旋转的乘法定义如下，令$t_1,t_2$是单位4元数，先转$t_1$后转$t_2$表达为 $$q\mapsto t_2^{-1}(t_1^{-1}qt_1)t_2=(t_1t_2)^{-1}q(t_1t_2)$$ 因为$(t_1t_2)$依然是一个单位4元数，所以乘法的结果是conjugation by $(t_1t_2)$。

射影空间

构造$\mathbb{RP}^1$，令$z_\alpha=\cos\alpha+i\sin\alpha$，则$z_\alpha$是$S^1$上的一个点，所有的形式为$\{\pm z_\alpha\}$的元素的集合构成一个群，乘法定义为 $$ \{\pm z_\alpha\} \{\pm z_\beta\} = \{\pm (z_\alpha z_\beta)\} $$ 这种乘法的定义下，映射 $$\{\pm z_\alpha\} \mapsto (\pm z_\alpha)^2 $$ 这是$\mathbb{RP}^1$到$S^1$的一个同构。$\pm z_\alpha$对应了两个角度和$\alpha, \pi+\alpha$，上面的映射映到$2\alpha, 2\pi + 2\alpha$，这两个角度对应$S^1$上的同一个点。

$SU(2)$和$SO(3)$

$S^n$里只有$S^1$和$S^3$是Lie Group，上面的结论，conjugation by t和conjugation by -t完全相同，记为 $$\{\pm t\}\in \mathbb{RP}^3$$ 上面也建立了$\mathbb{RP}^3$和$SO(3)$之间的一一对应。

$SU(2)$ (special unitary group)，是上面4元数矩阵，并且行列式为1。因为行列式同时也是4元数的模，这样建立了$SU(2)$和$S^3$之间的一一对应。

总结为下面的图 $$ \begin{array}[c]{ccc} S^3&\stackrel{t\mapsto \{\pm t\}}{\longrightarrow}&\mathbb{RP}^3\\ \updownarrow\scriptstyle{}&&\\ SU(2)&\stackrel{t\mapsto \text{conjugation by} \pm t}{\longrightarrow}&SO(3) \end{array} $$