一维运动并且$F$只依赖于位置的情况
如果$F=m\ddot{x}$是force的定义，其他的物理规律例如law of universal gravitation会给出一个$F(x)$的函数，任何在这个law约束下的运动满足方程$m\ddot{x}=F(x)$。
对任何一个具体的运动，显然$T$是时间的函数，考虑在这种力的作用下动能$T=\frac{1}{2}m\dot{x}^2$的变化规律，对时间求导: $$\frac{dT}{dt}=m\dot{x}\ddot{x}=F(x)\dot{x}$$ 现在选定一个时间为起点0，计算$t$时间后动能的变化 $$T_t-T_0=T|_0^t=\int_0^t \frac{dT}{dt}dt$$ 把上面的动能和力函数的关系代入可得 $$T_t-T_0=\int_0^t \frac{dT}{dt}dt=\int_0^t F(x)\dot{x}dt=\int_{x_0}^{x_t} F(x)dx$$ 如果定义势能为 $$V(y)=-\int_{x_0}^{y} F(x)dx$$ 可得 $$T_t+V(x_t)=T_0=\text{const}$$ 注意按势能的定义，$x_0$点的势能为0，也就是说在$x_0$点能量全是动能$T_0$。
这个关系是在上面描述的$F(x)$的约束下的任何运动都满足的。守恒定律有些推论，比如因为动能不能为负，所以运动的势能不会无止境的增加。而势能是位置的函数，所以如果一个运动的动能在某个时刻或者某个位置已知，那么这个运动就会只能在固定的区域，这个区域就是势能小于某个值(任一时刻的动能加势能也就是总能量)。势能是位置的函数，所以这个区域可以表达成方程$$V(x) \leq E$$
$m\ddot{x}=F$左边是second laws对force的定义，右边是根据其他关于force的定律决定的函数，这是一个二次微分方程，首次积分是对原方程积分一次去掉二次导数由原微分方程得到的等式。
平衡位置
定义是受力为0的位置，根据势能的定义，也就是$\frac{dV(y)}{dy}=0$的位置，在势能定义的公式里面$x_0$的选择具有任意性，我们可以选择考察中的位置为$x_0$，也就是这点的势能是0。根据平衡位置的定义，对位置的一阶导数也是0。所以平衡位置附近的级数展开看起来是个好主意。 $$V(x)=\frac{1}{2}x^2V''(0)+o(x^3)\tag{1}$$ 这里$x$是对平衡位置的偏移。
不考虑高阶无穷小(只在平衡位置附近这样近似)，这是抛物线的方程，如果$V''(0) > 0$开口向上，对应平衡点附近是吸引力，反过来是排斥力。
根据势能$V$的定义是force $F$对位置的积分，反过来$V$关于位置的函数已知，方程$(1)$，对位置求导，可得$F$在平衡位置附近的表达式$F=-kx$，其中$k=V''(0)$，进一步加上second laws可得运动方程 $$m\ddot{x}+kx=0\tag{2}$$ 也就是说，如果我们知道了某个平衡位置附近势能关于位置的函数，平衡位置这个事实可以导出势能函数的一阶导数在这个平衡位置的值是0，计算这个位置的$V$的二阶导数得到$k$，这些信息足够我们得到这点附近的运动方程$(2)$。
方程可以写成 $$\ddot{x}+\frac{k}{m}x=0$$ 平衡位置显然有两种，对应引力和斥力，如果是引力，令$\frac{k}{m}=\omega^2$得 $$\ddot{x}+\omega^2x=0$$ 此微分方程的解为 $$x=a\cos(\omega t-\theta)$$ 上面的逻辑关系可以看出，这时候运动是一个周期性运动，其频率由势能在平衡位置的二阶导数唯一决定。并且上面的推理没有对势能函数的性质做出任何限制，所以适用于所有的引力平衡位置。
实际计算的过程是，1.得势能关于位置的函数。2.计算势能一阶导数为0的位置(平衡位置)3.计算这个位置的势能关于位置的函数的二阶导数值得到震动的周期。
数学和物理
描述一个运动，需要两个要素，某个时刻的位置和速度，为什么需要速度呢？难道不是位置对时间求导就得到速度了吗？需要速度的原因是：速度是位置关于时间的导数是一个规律，但是研究的对象不是所有可导函数，这个位置对时间的函数的形式受物理规律约束。
这些物理约束一般表现为置对时间的函数的一阶或者二阶导数的形式。比如如果force是位置的函数，根据second low可以得到加速度和位置的关系，加上一个约束。
First low告诉我们，虽然数学上速度是位置对时间函数的导数，但是这种函数在没有外力的情况下只能是线性函数，也就是物理对数学的约束是约束位置对时间函数的形式。
物理的约束是以是位置对时间函数的一阶或者二阶导数形式出现的，并不完全确定运动方程，所以要研究n多微分方程。
例子：单摆
重力分解为杆的方向和切向，杆的方向被平衡，剩下为$F=-mg\sin{\theta}$，$x$为圆弧的长度，因为速度只有切向的，根据势能$V$的定义 $$V(x)=-\int_{x_0}^{x_t}-mg\sin{(x/l)}dx=-mgl\cos{(x/l)}|_{x_0}^{x_t}$$ 如果取$x_0=0$有 $$V(x)=mgl[1-\cos(x/l)]$$
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