比赛

A，B，先赢$c$场的队赢，求比的场数的期望。

最多会比$2(c-1)+1=2c-1$场，A,B的情况完全对称，考虑A赢的情况，乘以2得全部的可能。

令$c\leq k\leq 2c-1$为A赢的情况下，比赛的场数。可能的组合是 $$N_k = {k\choose c}-{k-1\choose c}={k-1\choose c-1}$$ $k$场里选$c$场$A$赢，去掉A在$k-1$场以前已经赢的情况。

概率是 $$p^c(1-p)^{k-c}$$ A赢的情况下，比赛场数的期望是 $$N(p)=\sum_{k=c}^{2c-1}{k-1\choose c-1}p^i(1-p)^{k-c}$$ 根据对称性，B赢的情况下，比赛场数的期望是$N(1-p)$，所以 $$N=N(p)+N(1-p)$$