Set and Function

集合的角度看映射

集合可以看成具有某种属性的元素的全体，两个集合$A, B$，其交集就是不能用这两个属性区分的元素的集合，例如$A$代表有红颜色的元素，$B$代表有黑颜色的元素，$A\cap B$可以是部分表面红部分表面黑的元素。颜色黑红这两个属性不能区分一些元素。

映射前不能被区分的元素$A\cap B$

映射后不能区分的元素$f(A)\cap f(B)$

映射前不能被区分的元素被映射后的命运$f(A\cap B)$

1)所有的mapping都不增加信息，也就是map后$A\cap B$必须还在$f(A)\cap f(B)$里： $$f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$$ 因为如果有一个元素在$f(A\cap B)$里但不在$f(A)\cap f(B)$里，它必然是在$f(A),f(B)$其中一个里面，并且只在其中一个里面，变的可以区分了。

2) injection不减少信息，以前能区分的元素不会被injection变的不能区分了，$f(A\cap B)$包含了所有映射后不能被区分的元素： $$f(A)\cap f(B) \subseteq f(A\cap B)$$ 所以对injection有 $$f(A)\cap f(B) = f(A\cap B)$$ 3) 逆映射在原空间上引入了等价关系，如果map到同一点认为是等价的，取这个等价关系的商空间，原来的映射变成新的商空间到值域的injection。这个商空间的特点是把原来因为map而减少的信息直接原空间内消化了，原来的map变成了不减少信息的injection。

満射得到的商空间到值域的映射是一一映射，所以保持所有的集合运算。

等价类的特点就是，如果两个等价类相交，那么重合。