代数 概念

Ker 和 Im
对任何$m\times n$矩阵$A$，$dim Im(A) + dim Ker(A) = n$。

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Permutation matrix：$\pi$是$\{1, \cdots n\}$的一个Permutation，Permutation matrix是
$$P=[S_{\pi(1)}, \cdots, S_{\pi(n)}]$$
其中$S_i$是单位矩阵的第$i$行。$P$有性质$P^{-1}=P^{T}$。

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Fact：$Ax$是$A$列向量的线性组合，也就是$Im(A)$就是$A$的列向量张成的子空间。
Fact：如果$y \in ker(A)\text{ i.e. }Ay=0$，那么$y$和$A$的每个行向量都垂直。

上面两个Fact很直观，也很有用，可以用来证明行rank和列rank相等，设行rank为$k$，$R_1^T, \cdots, R_k^T$为线性无关的行，考虑$A(R_1) \cdots, A(R_k)$，如果它们线性相关，那么$\sum \lambda_i A(R_i)= A(\sum\lambda_iR_i)=0$，这说明$\sum\lambda_iR_i \in ker(A)$，而$ker(A)$里的向量和$A$的每个行向量都垂直，矛盾。$k$个向量$A(R_1) \cdots, A(R_k)$显然都在$Im(A)$中，线性无关说明，$Im(A)$就是$A$的列向量张成的子空间的rank至少是$k$。对$A^T$重复上面的过程，可知两个rank相等。

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行列式的几何意义是$n$个行（列）向量构成的$n$维平行多面体的$n$维定向体积，显然如果这些向量线性相关，多面体的维度就会小于$n$，$n$维体积就是0。因为某个向量本该戳出去张成多一维的体积，但是它没有，缩到了其他向量张成的子空间里了。

行列式可以看成是行向量的$n$元线性函数，一个行向量被加上另一个行向量的倍数不改变行列式，因为$f(C_1+kC_2,C_2)=f(C_1, C_2) + kf(C_2, C_2)$，根据行列式的体积解读，后面那项为0。几何上看$C_1+kC_2$移动的方向和$C_2$的方向平行，象沿着和底边平行的方向移动三角形的对面的顶点，三角形的面积不变（当然行列式是平行四边形的面积，三角形的二倍就是这个平行四边形）。