Dynkin定理证明($\pi-\lambda$ Theorem)

$\pi$-system是对有限交封闭；$\lambda$-system是对补和不交并封闭，并且包含全空间$\Omega$。如果一个system既是$\lambda$又是$\pi$，那么它是个$\sigma$-field(包含空集，对补集和可数并封闭)。

定理：设$\mathcal{L}$是一个$\lambda$-system，$\mathcal{C}$是一个$\pi$-system，且$\mathcal{C}\subseteq \mathcal{L}$，那么$\sigma(\mathcal{C}) \subseteq \mathcal{L}$。（也就是$\pi$-system生成的$\sigma$-field比包含它的任何一个$\lambda$-system小）。

路线：构造一个新的$\lambda$-system，证明它是$\pi$-system，并且这个system包含$\sigma(\mathcal{C})$且被$\mathcal{L}$包含。

新的$\lambda$-system定义为所有包含$\mathcal{C}$的$\lambda$-system的交集，记为$\mathcal{L}(\mathcal{C})$。

根据$\mathcal{L}(\mathcal{C})$的定义两个显然的包含关系
-- $\mathcal{L}(\mathcal{C})$必然被$\mathcal{L}$包含，因为$\mathcal{L}$是其中一个$\lambda$-system。
-- $\mathcal{L}(\mathcal{C})$包含$\mathcal{C}$，因为$\mathcal{L}(\mathcal{C})$是包含$\mathcal{C}$的system的交集。

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1) $\mathcal{L}(\mathcal{C})$是$\lambda$-system。

$\mathcal{L}(\mathcal{C})$是$\lambda$-system的交集，而每个$\lambda$-system都包含全空间$\Omega$，所以$\mathcal{L}(\mathcal{C})$也包含$\Omega$。同样的道理任何一个$\mathcal{L}(\mathcal{C})$中的元素$A$必包含在所有的$\lambda$-system中，所以补集$A^c$也包含在所有的$\lambda$-system中。

不交并的运算同样发生在所有的$\lambda$-system中，所以也包含在$\mathcal{L}(\mathcal{C})$。

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2) $\mathcal{L}(\mathcal{C})$是$\pi$-system。证明复杂一点。

对$\mathcal{L}(\mathcal{C})$中的一个元素$X$定义一个system $\mathcal{L}_X=\{Y|X\cap Y \in \mathcal{L}(\mathcal{C})\}$。$\mathcal{L}_X$是一个$\lambda$-system，证明见最后。

$\mathcal{L}_X$的含义是所有和$X$相交在$\mathcal{L}(\mathcal{C})$中的元素，当$X$变化的时候它有这样的性质：

• $X\in \mathcal{C}$，那么$\mathcal{L}_X$包含$\mathcal{C}$，因为任取$A\in \mathcal{C}$，根据目前的条件$A, X$都在$\mathcal{C}$里，而$\mathcal{C}$是$\pi$-system，对有限交封闭，因此$A\cap X\in\mathcal{C} \subseteq\mathcal{L}(\mathcal{C})$，所以$A$满足$\mathcal{L}_X$的条件。
  
  $\mathcal{L}_X$包含$\mathcal{C}$的$\lambda$-system，所以是其中一个$\lambda$-system，所以$\mathcal{L}(\mathcal{C})\subseteq\mathcal{L}_X$，或者写成$\mathcal{L}(\mathcal{C})|_{\cap X\in\mathcal{C}} \subseteq \mathcal{L}(\mathcal{C})$。
  
  也就是说，如果把和$\mathcal{C}$里面的元素相交看成一种运算的话，$\mathcal{L}(\mathcal{C})$对这个运算封闭。(这里很有意思，本来$\lambda$-sysem的定义是补和并的运算封闭，这里得到了一种交集运算封闭)。
  
  
• $X\in\mathcal{L}(\mathcal{C})$，根据上面的结论，这时候$X$和$\mathcal{C}$的元素相交还在$\mathcal{L}(\mathcal{C})$中，所以$\mathcal{C}\subseteq \mathcal{L}_X$
  
  也可以得出$\mathcal{L}(\mathcal{C})\subseteq\mathcal{L}_X$，或者写成$\mathcal{L}(\mathcal{C})|_{\cap X\in\mathcal{L}(\mathcal{C})} \subseteq \mathcal{L}(\mathcal{C})$
  
  

最后那个式子就是对有限交封闭，虽然不太正规。 由以上，$\mathcal{L}(\mathcal{C})$是$\sigma$-field，而且包含$\mathcal{C}$，而$\sigma(\mathcal{C})$的定义为包含$\mathcal{C}$的最小的$\sigma$-field，所以$\mathcal{L}(\mathcal{C})$包含$\sigma(\mathcal{C})$。

大小关系

$\pi$-system $\mathcal{C}$ --> $\sigma$-field $\sigma(\mathcal{C})$ --> $\sigma$-field $\mathcal{L}(\mathcal{C})$ --> $\lambda$-system $\mathcal{L}$

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证明$\mathcal{L}_X$是一个$\lambda$-system。

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在概率里的应用
推论：如果两个概率测度在一个$\pi$-system $\mathcal{C}$上相等，那么他们在$\sigma(\mathcal{C})$上相等。

证明：注意到根据概率测度的性质，满足概率测度相等的所有集合（包含$\mathcal{C}$）是一个$\lambda$-system。