A Course in Probability Theory - chap 2

2.1

1)
$(\cup_j A_j)\setminus(\cup_j B_j)=(\cup_j A_j)\setminus(\cup_i B_i)=(\cup_j A_j)\cap(\cup_i B_i)^c=(\cup_j A_j)\cap(\cap_i B_i^c)\\ =\cup_j [A_j \cap (\cap_i B_i^c) ]=\cup_j [ \cap_i(A_j\cap B_i^c) ]=\cup_j [ \cap_i(A_j\setminus B_i) ]$
对固定的$j$有$\cap_i(A_j\setminus B_i) \subset A_j\setminus B_j$，所以$\cup_j [ \cap_i(A_j\setminus B_i) ] \subset \cup_j (A_j\setminus B_j)$，相等的条件是$\cap_i(A_j\setminus B_i) = A_j\setminus B_j$也就是$i\neq j$的时候$A_j\setminus B_i = A_j$即$A_j\cap B_i = \Phi$
2)
对称差的计算方法$1_{A\Delta B} = 1_A + 1_B \mod 2$，例如$1_{(A\Delta B)\Delta (B \Delta C)} \mod 2 =\\ 1_{A\Delta B} + 1_{B \Delta C} \mod 2=\\ 1_A + 1_B + 1_B + 1_C \mod 2 = 1_A + 2_B + 1_C \mod 2 = 1_A+1_C=1_{A\Delta B}$
3)
原始集合加上他们的补集一共是$2n$个，这些集合的可数并有$2^{2n}$个。
4)
6)
到3为止的正整数构成的B.F.：$\mathcal{F}_3=\left\{ \Phi, N, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2 ,3\} \right\} \\ \cup \left\{ \{1\}^c, \{2\}^c, \{3\}^c, \{1, 2\}^c, \{1, 3\}^c, \{2, 3\}^c, \{1, 2 ,3\}^c \right\}$
考虑所有奇数构成的集合，这个集合是单点集合可数并，但是不属于任何$\mathcal{F}_n$，所以不在B.F.的可数并里。

2.2

1) 可数个单点集并起来的一个无限的。
2)当n取不同的值趋向于极限的时候,$E\cap F$取不同的极限.
3)
4) $P(\Omega)=\infty$
5) 记所有形式$F\cap \Delta$的集合构成的集合为$\mathcal{F}_{\Delta}$, 其中最大的是$\Omega \cap \Delta$.
6) $\forall F\in \mathcal{F}, P(F\setminus \Delta) = 0$, 也就是$E=F\cap \Delta$是$F$去掉一个0测集.
7) 闭区间的可数并可得开区间; 单点集或者有限集的可数并得不到区间.