随机变量的收敛

1)$\{X_n\}$收敛到$X$ a.e.：概率空间$\Omega$去掉一个null set后，其中任何一点$\omega$有，$X(\omega)$有限，并且： $$\lim_{n\rightarrow \infty}X_n(\omega)=X(\omega)$$ 2)almost uniform convergence：任给一个正数$\epsilon$，记$A_m(\epsilon)=\cap_{n=m}^\infty\{ |X_n-X| \leq \epsilon \}$，这个集合的意思是，集合里的任何一个元素$\omega$，$m$往后所有$X_n(\omega)$和$X(\omega)$的差小于$\epsilon$，(也就是解不等式得到的$\Omega$上的集合然后取交集)。
上面的正数$\epsilon$和$\omega$的选取无关，所以这个收敛是uniform的，这种收敛称为almost uniform convergence。在有限测度空间上，这种收敛和a.e.收敛是等价的。

收敛a.e.等价于对所有的$\epsilon > 0$有$\lim_{m\rightarrow \infty}P(A_m(\epsilon))=1$。

3)收敛in probability：对任意的正数$\epsilon$有 $$\lim_{n\rightarrow \infty}P\{|X_n-X| > \epsilon\} = 0$$ 看成解不等式的$\Omega$上的集合，然后求概率，注意解不等式得到的集合不一定是单调的，最极端的情况，每个$n$得到的满足不等式的集合都不同，他们的并集的概率测度不为0，所以收敛a.e.是更强的条件，收敛a.e.的时候那个坏的0测度集是固定的。

4)柯西条件：
$\{X_n\}$收敛到$X$ a.e，$\lim_{m\rightarrow \infty}P\{|X_n-X_{n'}| > \epsilon \text{ for some }n' > n \geq m\} = 0$
收敛in probability，$\lim_{n, n'\rightarrow \infty }P\{|X_n-X_{n'}| > \epsilon\} = 0$

5)：集合的极限
极限的一个看法是去掉序列的前面有限个元素不影响收敛的情况和结果，例如对于集合的序列$E_j$，定义 $$F_m=\cup_{n=m}^\infty E_n$$ $F_m$的含义是序列去掉前面$m-1$个剩下集合的并，所以如果有一个元素$\omega$出现在无穷多个集合里那么它永远不会被扔掉，所以$\omega$在所有的$F_m$中。也就是在 $$\cap_{m=1}^\infty F_m$$ 里，称为infinitely often。

$F_m$是下降序列，所以根据概率的连续性，其概率的极限等于极限集合(i.o.)的概率。

如果$\sum_{n=1}^\infty P(E_n)$有限，根据无穷级数的性质这个无穷和的余项趋于0，也就是 $$\sum_{n=m}^\infty P(E_n)\to 0$$ 根据概率的次可加性，这个$F_m$的概率比这个余项要小，所以也趋于0，也就是说

Theorem：如果$\sum_{n=1}^\infty P(E_n)$有限，那么$E_n$里i.o.的元素集合的概率测度为0。

一个收敛到0的随机变量序列$X_n$和一个正数$\epsilon$定义了集合序列$E_n=\{|X_n| > \epsilon\}$。almost uniform convergence里面的$A_m^c(\epsilon)$看成$F_m$。

6)：收敛in pr蕴含存在子序列收敛a.e.
证明：不是一般性，设收敛到0，收敛in pr那么对任意$\frac{1}{2^k}$可以找到，一个$X_{n_k}$使得集合$E_k=\{X_{n_k} > \frac{1}{2^k}\}$的概率测度小于$\frac{1}{2^k}$，有$\sum_{k=1}^\infty P(E_k)$有限。