期望

0) 求计数问题的期望的时候(比如求n次试验里出现的某种结果个数的期望)，如果可以把问题转化成r.v.的和$\sum_i X_i$，那么结果等于是所求的期望是单个$X_i$的期望的和。

1) 期望是概率空间上对概率测度的积分

2) 对离散的r.v.，设对应的weighted partition是$\{\Lambda_j; b_j\}$，那么期望可以写成 $$E(X)=\sum_j b_j P(\Lambda_j)$$ 3) 对连续的正的r.v.，先定义一个weighted partition和一个离散的r.v.，对$m, n \geq 0$，定义集合 $$\Lambda_{mn}=\left\{ \omega | \frac{n}{2^m} \leq X(\omega) < \frac{n+1}{2^m} \right\}$$ 这是partition，weight定义为$n/2^m$也就是$\Lambda_{mn}$上$X$取的最小值，得到weighted partition $\{\Lambda_{mn}; n/2^m\}$。
这个weighted partition对应的离散r.v.为$X_m(\omega)=\frac{n}{2^m},\ \omega\in \Lambda_{mn}$。它的期望为 $$E(X_m)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{2^m}P(\Lambda_{mn})$$ 定义$X$的期望为 $$E(X)=\lim_{m\rightarrow \infty}E(X_m)$$ 4)概率空间上的抽象积分和$(\mathcal{R}^1, \mathcal{B}^1)$上的Lebesgue–Stieltjes积分： $$\int_\Omega f(X(\omega))P(d\omega)=\int_{\mathcal{R}^1}f(x)\mu(dx)$$ 其中$\mu$是$X$在$(\mathcal{R}^1, \mathcal{B}^1)$诱导的概率测度，$f$是$(\mathcal{R}^1, \mathcal{B}^1)$上的可测函数， 如果取$f=1_{B\in \mathcal{B}^1}$，那么$\int_\Omega f(X(\omega))P(d\omega)=\int_\Omega 1_{B}(X(\omega))P(d\omega)$，可以看 $$1_{B}(X(\omega))=\left\{ \begin{array}{l l} 1 & \quad \text{if $\omega \in X^{-1}(B)$}\\ 0 & \quad \text{if $\omega \notin X^{-1}(B)$}\\ \end{array} \right.$$ 所以$\int_\Omega 1_{B}(X(\omega))P(d\omega)=\int_{X^{-1}(B)}P(d\omega)=P(X^{-1}(B))=P(X\in B)$。
另一边，$\int_{\mathcal{R}^1}f(x)\mu(dx)=\int_{\mathcal{R}^1}1_{B}(x)\mu(dx)=\int_{B}\mu(dx)=\mu(B)$。也就是 $$P(X\in B)=\mu(B)$$ 这就是$\mu$的定义，所以等式成立。$f$可以看成$(\mathcal{R}^1, \mathcal{B}^1)$上的r.v.，再根据积分的线性和单调收敛可以证明等式对离散和连续的$f$都成立。

二维的情况 $$\int_{\Omega}f(X(\omega), Y(\omega))P(d\omega)=\iint_{\mathcal{R}^2} f(x, y)\mu^2(dx, dy)$$

5)期望表达为在概率空间上的抽象积分形式： $$E(X)=\int_{\Omega}X(\omega)P(d\omega)$$ 根据4)，这时候$f(x)=x$，积分表达为$(\mathcal{R}^1, \mathcal{B}^1)$上的Lebesgue–Stieltjes积分： $$E(X)=\int_{\Omega}X(\omega)P(d\omega)=\int_{\mathcal{R}^1}x\mu(dx)$$

6)对moment来说$f=(x-a)^r$ $$\int_{\mathcal{R}^1}(x-a)^r\mu(dx)$$