可数可加<=>有限可加+连续性

1) 如果$E_n \downarrow$，则 $$E_n=\cup_{k=n}^\infty (E_k\setminus E_{k+1})\cup \cap_{k=1}^\infty E_k$$ 设$x\in E_n$并且$x\notin \cup_{k=n}^\infty (E_k\setminus E_{k+1})$
$x\in E_n, x\notin E_n\setminus E_{n+1} \Rightarrow x\in E_{n+1}$由归纳法知$x\in E_i, i > n+1 \Rightarrow x \in \cap_{k=1}^\infty E_k$

2) 如果$E_n \downarrow \Phi$，则$\cap_{k=1}^\infty E_k = \Phi$ $$E_n=\cup_{k=n}^\infty (E_k\setminus E_{k+1})$$
3)如果可数可加成立 $$P(E_n) = P( \cup_{k=n}^\infty (E_k\setminus E_{k+1}) )=\sum_{k=n}^\infty P((E_k\setminus E_{k+1}))$$
取$n=1$ $$P(E_1) = P(E_1\setminus E_2) + P(E_2 \setminus E_3) + \cdots + P(E_{n-1} \setminus E_n) + \sum_{k=n}^\infty P((E_k\setminus E_{k+1}))$$ 上面的无穷级数收敛的事实说明，$\lim_{n\rightarrow \infty}P(E_n) = 0$

4)反过来，如果连续性和有限可加成立，设$B_k$两两不相交那么 $$\cup_{k=n+1}^\infty B_k \downarrow \Phi$$ 因为如果上面的极限不是$\Phi$那么必存在元素在无穷多个$B_k$中，这个两两不相交矛盾。由连续性 $$\lim_{n\rightarrow \infty}P(\cup_{k=n+1}^\infty B_k) = 0$$ 由有限可加性 $$ \begin{align} P(\cup_{k=1}^\infty B_k) &=& P(\cup_{k=1}^{n} B_k) + P(\cup_{k=n+1}^{\infty} B_k) \\ &=& \sum_{k=1}^n P(B_k) + P(\cup_{k=n+1}^{\infty} B_k) \end{align} $$ 上面的式子说明和式$\sum_{k=1}^n P(B_k)$有界，它又是递增的，所以这个和式的极限存在。让$n$趋于无穷，可得可数可加的等式。

一些扩展

5) 4的证明里，在一个field上也可以证明，只要$\cup_{k=1}^\infty B_k$在field里，并且连续性满足。