概率：概念

集合能看成事件的原因是，考虑这样一个实验，从底空间中任取一个点，这个点在集合$A$里可以看成事件。

独立

事件$A, B$独立的意思是：$P(A\cap B)=P(A)P(B)$。推广到可数个独立事件的集合的意思是：其中任意$k$个事件的交集的概率等于这个$k$个事件概率的乘积。特别要指出的是两两独立推不出集合独立。

例如四个不同的事件$E_i, i=1,2,3,4$发生的概率都是1/4，定义$A_1=E_1\cup E_2$，$A_2=E_1\cup E_3$， $A_3=E_1\cup E_4$，这三个事件两两独立，但是$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(E_1)=1/4$。

随即变量$X, Y$独立的意思是：他们在取值空间上诱导的$\sigma$-field独立。

$n+m$个相同的实验，$X$为前$n$个中成功的个数，$Y$为后$m$中成功的个数，$X, Y$独立。

随机变量$Y$在概率空间里诱导了一个$\sigma$-field，假设$D$这个$\sigma$-field里的一个可测集，那么$X$把这个可测集$D$映到$X$的所有可以取的值。$X, Y$独立吗？

考虑两个概率空间$\Omega_1, \Omega_2$，其上各定义了一个随机变量$X_1, X_2$，两个概率空间的笛卡尔积$\Omega_1\times \Omega_2$作为一个概率空间，新的概率测度定义为两个空间事件概率的乘积，也就是如果$\omega_1 \in \Omega_1, \omega_2 \in \Omega_2$那么$P((\omega_1, \omega_2))=P(\omega_1)P(\omega_2)$, 这显然是一个概率测度, 再定义$\bar{X_1}((\omega_1, \omega_2))=X_1(\omega_1)$, $\bar{X_2}((\omega_1, \omega_2))=X_2(\omega_2)$,那么$\bar{X_1}, \bar{X_2}$是独立的。

观察上面的两新个随机变量的逆像，如果把$\Omega_1$看成横轴那么$\bar{X_1}$的逆像只是和横轴垂直的条形，在纵轴方向无限延伸，每个逆像都是这样的，给不出任何纵轴的测度信息。

$A\cap B$和$A^c\cap B$两个集合是不相交的，不会同时发生，而且他们的并是$B$，所以$P(B)=P[(A\cap B)\cup (A^c\cap B)]=P(A\cap B) +P(A^c\cap B)$，如果$A, B$独立，那么$P(A\cap B)=P(A)P(B)$，