可测函数

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要求$f$值域里的区间的逆像可测，实际上是对连续函数要求的一种放松，连续函数要求开集的逆像还是开集。

单调函数都是可测的，区间的逆像还是区间。

注意求区间的逆像其实就是解不等式。

可测函数对加法$f+g$和乘法$fg$封闭，如果$f=c$是常函数，显然可以推出对数量乘积封闭。

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Lebesgue integral：假设函数$f$值域里的区间$J_n$的逆像是可测集，和式
$$\sum_{n=1}^N c_n m(f^{-1}(j_n))$$
有定义，其中$c_n \in J_n, m(\cdot)$是测度，和式的极限是Lebesgue integral。

Lemma：如果$F:R\times R \rightarrow R$是连续函数，$f, g$是可测函数，那么$h(x)=F(f(x), g(x))$可测。

wiki:The (pointwise) supremum, infimum, limit superior, and limit inferior of a sequence (viz., countably many) of real-valued measurable functions are all measurable as well.

limit superior $\lim\sup_{n\rightarrow \infty}f_n$可以这样看，对定义域的每一点$x_0, \{f_n(x_0)\}$是一个实数序列，limit superior在这点的取值是这个实数序列的limsup。对实数序列，limsup用语言描述是$n$后面的无穷多个元素的上界$p_n$，当$n$趋于无穷的时候得到的$p_n$的极限。

$p_n \geq p_{n+1}$，因为$p_{n} = max\{a_n, p_{n+1}\}$，所以$p_n=\sup_{m\geq n} a_m$是个递减的序列。递减序列如果有极限的话，极限也是下确界，所以limit superior也可以写成$n$个上界的下界。
$$\limsup_{n\rightarrow \infty}f_n=\inf_{n\geq 1}\{p_n=\sup_{m\geq n}f_m\}$$

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对随机变量来说，一般他们的取值都是很好的集合，如果假设都是Borel sets。所以定义
$$X^{-1}(\mathcal{B})=\{S \subset \mathcal{F}: S=X^{-1}(B)\text{ for some }B\in \mathcal{B} \}$$
是一个$\sigma$-field，称为$X$生成的$\sigma$-field，记为$\mathcal{F}_X$，注意$X$的逆像是可以是空，而且不同集合的逆像可能是相同的，逆像不同个数可能很有限，所以如果$X$的取值是实数，我们可以检查实轴上的Borel set在$X$的逆像。

如果$X$只取值$a$，那么$\mathcal{F}_X=\{\Phi, \Omega\}$。
如果$X$只取两个值$a, b$，那么$\mathcal{F}_X=\{\Phi, \Omega, X^{-1}(a), X^{-1}(b) \}$。
如果$X$只取有限个值，那么$\mathcal{F}_X$有限。
如果$X$只取有可数个值，那么$\mathcal{F}_X$不可数，因为可数集合的全部子集的个数是不可数的，这些子集都可以得逆像。

注：Borel sets：the smallest $\sigma$-field containing all open sets (in $R^1$ or $R^n$).

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通过$P_X(B)=P(X^{-1}(B)), B\in \mathcal{B}$可以在$X$的值域$(R, \mathcal{B})$的空间里定义了一个测度，称为$X$的分布。也就是说$(R, \mathcal{B}, P_X)$是一个概率空间。

例子：
1. Dirac measure, $X\equiv a$，诱导的$(R, \mathcal{B})$测度为
$$\delta_a(B)=\left\{
\begin{array}{l l}
1 & \quad \text{if $a \in B$}\\
0 & \quad \text{if $a \notin B$}\\
\end{array} \right.$$
也就是如果集合包含$a$那么测度为1，否则为0。

2. 如果$X$是离散随机变量，且$P(a_i)=p_i$，那么诱导的测度为
$$P_X(B)=\sum_{i=1}^\infty p_i\delta_{a_i}(B)$$

3. 如果底空间$\Omega$是离散的，那么其上的所有实值函数都是可测的，都是随机变量。

4. 不同函数值的函数逆像必然不相交，更进一步，不相交的集合的逆像是不相交的。

5. 从分布$F$构造随机变量的办法，假设$F$满足分布函数的性质。
--首先注意到$0 \leq F \leq 1$，取$\Omega = (0, 1)$为构造的随机变量的概率空间，对任何$\omega \in \Omega$，定义$X(\omega)=\sup\{y|F(y)<\omega\}$

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随机变量$X, Y$独立的意思是$\mathcal{F}_X, \mathcal{F}_Y$独立，也就是对任意Borel集合$B, C\subset R$有：
$$P(X^{-1}(B)\cap Y^{-1}(C))=P(X^{-1}(B))P(Y^{-1}(C))$$