A Course in Probability Theory - chap 1

1.1

1)
当$x=-\infty$的时候对任意的$i$有$x < i$，所以$\delta_i(x)=0$，所以和式为0。
当$x=+\infty$的时候对任意的$i$有$x > i$，所以$\delta_i(x)=1$，所以和式为$\sum_n b_n$。
2) $$f=\sum_{n=1}^\infty [\delta_n(x)-\delta_n(-x)] -\frac{1}{2}\delta_0(x) + \frac{1}{2}\delta_0(-x)$$ 设$x > 0, m=[x]$，那么
当$-x < 0 < n$：$\delta_n(-x) = 0, n=1,2,...$
当$n > m$：$\delta_n(x) = 0$ 所以$\sum_{n=1}^\infty \delta_n(x)=\sum_{n=1}^m \delta_n(x)=\sum_{n=1}^m 1=m$
$f(x)=m-\frac{1}{2}\delta_0(x) + \frac{1}{2}\delta_0(-x)=m-\frac{1}{2}$
3)
任给$\epsilon$，大于$\epsilon$的jump的数量小于$(B-A)/\epsilon$，否则因为函数是增函数，这些jump是不相交的区间，函数的取值范围大于$[A, B]$。
现在取$\epsilon = \frac{1}{n}$，用$J_n$记大于$\epsilon$的jump的数量，是个有限的整数，函数总的jump的数量小于$\sum_{n=1}^\infty J_n$，所以是可数个。
Froda's theorem
第一类型的不连续包括removable discontinuity，a jump discontinuity。removable discontinuity是左右极限相等，但是函数的取值不是这个极限。
Let f be a monotone function defined on an interval I. Then the set of discontinuities of the first kind is at most countable.
4)
5)
例如$f=\frac{1}{\pi - x}$在有理数集上是连续的，但诱导的$\tilde{f}$不连续。如果$f$一致连续，$\tilde{f}$在$x_0$点不连续，左右极限不相同，找$D$中的两个序列，分别从两端趋向于$x_0$，根据一致连续性$f(b_n)-f(a_n)\rightarrow 0$，这和$\tilde{f}$在$x_0$不连续矛盾。
一致连续的反面是：存在$C$，使得不论$\delta$多小，并不是所有满足$|x_1-x_2| < \delta$的两点都满足$|\tilde{f}(x_1)-\tilde{f}(x_2)| < C$。
$C$有时候可以任意的大，比如$f(x)=\frac{1}{x}$，有时候$C$不能任意大，比如$f(x)=sin(\frac{1}{x})$，只要存在就好，只要不是无穷小的量就好。
现在假设$\tilde{f}$不一致连续，那么它满足上面的性质，考虑$(x_1 + 1/n, x_2 - 1/n)$，根据$\tilde{f}$的连续性，总可以使$|\tilde{f}(x_1) - \tilde{f}(x_1 + 1/n)| < C/3$，根据$D$的稠密性，总可以找到$a_1 \in D$并且$a_1\in [x_1, x_1 + 1/n]$，另一边找到$a_2$，根据单调性有$|f(a_1) - f(a_2)| > C/3 $，也就是$f$不一致连续。

1.2

1)
$=F(x+)-F(x-)$
2)
考虑以$x$为右端点的开区间，当区间长度趋于0的时候，因为d.f.是右连续，区间里不会包含任何jump，而区间$(x-\epsilon, x]$，当$x$是jump的时候收敛到jump。
证明Theorem 1.2.1
$[F_d(x)-F_d(x-)]=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}[F_d(x)-F_d(x-\epsilon)]=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}[\sum_jb_j\delta_{a_j}(x)-\sum_jb_j\delta_{a_j}(x-\epsilon)]$
上面最后一个式子的意思是$(x-\epsilon, x]$之间的jump的和，或者写成$\sum_{x-\epsilon < a_j \leq x}[F(a_j)-F(a_j-)]$。
$F_c(x)-F_c(x-)=F(x)-F(x-)-[F_d(x)-F_d(x-)]$
$=F(x)-F(x-)-\lim \sum_{x-\epsilon < a_j \leq x}[F(a_j)-F(a_j-)]$
分别考虑$x$是jump和不是jump的情况，可以证明定理。
3)
如果jump的点是稠密的，那么"jump之间"就没有定义，如果在欧氏距离下离散，就排除了稠密的情况。
4)
d.f.的$F_d$的定义有意义的原因是和式是有限的，因为d.f.有界而且是增函数，jump只有可数个。
$$\begin{align} &F_d(a) & = & F(a)\\ &F_d(a-x) & = & F(a) - \sum_{jump \in (a-x, a)} b_i \end{align}$$ 注意到不同的$a$会定义不同的$F_d$，对于d.f.选的是$a=-\infty$。
5)
6)
根据jump的定义，因为是下确界和上确界的差，总能找到$F(x+\delta) - F(x-\delta) \geq b_i$，所以如果存在$\epsilon$使得$F(x+\epsilon) - F(x-\epsilon)=0$(小于0是不可能的，因为$F$是增函数)，令$\delta < \epsilon$，两式相减 $$F(x+\delta) - F(x+\epsilon) + ( F(x-\epsilon) - F(x-\delta) ) \geq b_i > 0$$ 这和$F$是增函数矛盾。
如果$y$不是support里的点，那么可以找到$y$的一开区间，d.f.在区间的两端取的值相等，再根据d.f.是单调函数，知道d.f.在这个区间上取常数值。如果$x$是support的孤立点，并且$x$不是jump，因为是孤立点，可以知道d.f.在两个区间$(x-\delta, x)$和$(x, x+\delta)$分别取常数值，在根据jump的定义知道df在第一个区间的取值的上确界，等于在第二个区间取值的下确界，所以两个常数相等，这和$x$属于support矛盾。
如果一个d.f.在一个稠密可数集合上都是非零jump，其他时候取常数，其support是整个line，因为任何开区间都包含jump，取常数值的开区间是不存在的，而非support点要求有个包含它的取常值的开区间。
7)
由上面知道任何非support点都有一个包含它的d.f.取常值的开区间，这个开区间里的点显然都不是support里的点，所以support的补集是开集，support是闭集。