2) 验证一个由概率空间$(\Omega, \mathcal{F}, P)$到$(\mathcal{R}^1, \mathcal{B}^1)$的映射是r.v.只需要验证$X^{-1}(\ (-\infty, x]\ )\in \mathcal{F}$。
3) 所以对任何一个r.v.概率$P( \{X \in B\} )$有定义，其中$B\in \mathcal{B}^1$。
4) r.v.在$(\mathcal{R}^1, \mathcal{B}^1)$上诱导了一个概率测度$\mu=P\circ X^{-1}$称为$X$的"probability distribution measure"或者p.m.。$(\mathcal{R}^1, \mathcal{B}^1)$上的概率测度$\mu$诱导的D.F.称为$X$的D.F.。
5) 不同的r.v.可能诱导同样的$(\mathcal{R}^1, \mathcal{B}^1)$上的测度，比如取概率空间为$(\mathcal{U}, \mathcal{B}, m)$，那么$X(\omega)=\omega$和$Y(\omega)=1-\omega$诱导的测度是一样的。
6) 设$f: (\mathcal{R}^1, \mathcal{B}^1) \rightarrow (\mathcal{R}^1, \mathcal{B}^1)$是一个可测函数，那么$f\circ X$是一个r.v.。
证明：注意到$f$可测也就是$f^{-1}(\mathcal{B}^1) \subset \mathcal{B}^1$，所以 $$(f\circ X)^{-1}(\mathcal{B}^1)=X^{-1}\circ f^{-1}(\mathcal{B}^1) \subset X^{-1}(\mathcal{B}^1) \subset \mathcal{F}$$
7) 二维测度空间$(\mathcal{R}^2, \mathcal{B}^2)$，其中$\mathcal{B}^2$是由下面的集合生成 $$B_1 \times B_2 = \{ (x, y) | x\in B_1, y\in B_2,\ \ B_1, B_2 \in \mathcal{B}\}$$
8) 设$X, Y$是r.v.，随机向量$(X, Y): (\Omega, \mathcal{F}, P) \rightarrow (\mathcal{R}^2, \mathcal{B}^2)$诱导了$(\mathcal{R}^2, \mathcal{B}^2)$上的概率测度$\nu=P\circ (X, Y)^{-1}$，注意求概率的时候是并且的关系，也就是任取$A = B_1\times B_2$($\mathcal{B}^2$由这种形式的集合生成)那么： $$(X, Y)^{-1}(A)=X^{-1}(B_1)\cap Y^{-1}(B_2) \in \mathcal{F}$$
9) 离散随机变量：存在可数集$B\subset \mathcal{R}$满足$P(X\in B)=1$。
10) 集合的indicator：比如$\Delta$的indicator定义为 $$1_{\Delta}(\omega)=\left\{ \begin{array}{l l} 1 & \quad \text{if $\omega \in \Delta$}\\ 0 & \quad \text{if $\omega \notin \Delta$}\\ \end{array} \right.$$ 当$\Delta \in \mathcal{B}$的时候$1_{\Delta}$是一个r.v.。
11) 概率空间$\Omega$的可数划分(countable partition)：划分是可数个$\Omega$的子集的集合$\{\Lambda_j\}$，满足$\Lambda_j\in \mathcal{F}$和$\cup_j\Lambda_j=\Omega$。
每个$\Lambda_j$选取一个实数$b_j$，下面的函数是一个离散r.v. $$\phi(\omega)=\sum_j b_j1_{\Lambda_j}(\omega)$$ $\phi$被称为r.v. belonging to the weighted partition $\{\Lambda_j; b_j\}$。 反过来，根据离散r.v.的定义，每个离散r.v.对应一个weighted partition。
例子
比如掷骰子, probability space是{1点, 2点, ..., 6点}, $X$是把(1点)映射到数值1, (2点)映射到数值2。$X$也可以看成把(掷色子)这个实验映射到实数的映射，而probability space{1点, 2点, ..., 6点}是刻画所有样本的工具。这里$X$在probability space上诱导的测度正好和它本身的测度重合，如果$Y$这个随机变量把偶数点数映到1，奇数点数映射到2，那$Y$诱导的测度就要粗的多。但有时$Y$可能是唯一能观察到的量。比如下面的例子。很好的例子: $A$和$B$点有$n$个通信通道连接，每个信道的传输率都是$\rho$，显然有$k$条信道同时通信的时候总传输率是$k\rho$，每个信道失效的概率是$p$。样本空间是所有可能的组合，现在考察measure，假设你只能观察到总传输率，你measure一次只能得到值$k\rho$，从而知道有几个信道work，具体哪几个不知道。如果全部信息都知道的话，可能的情况应该有$2^n$种可能，但是我们测一次只知道这个样本落在集合
$$A_k=\{\omega=(\epsilon_1, \epsilon_2, \cdots, \epsilon_n) \in \Omega: \sum_n \epsilon_i=k\}$$
里，这样得到$n$个集合$\{A_i\}$。
如果一个人不知道具体的实验设置，他只能统计$k\rho$，这就是他能得到背后的probability space的测度。
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