集合
定义：- Field：对补和并封闭。
- Monotone Class(M.C.)：对可数单调上升集合序列的并封闭，对单调下降集合序列的交封闭。注意M.C.不要求是Field。
- Borel Field(B.F.)：对补集和可数并封闭。
定理：对有限并封闭+可数个上升集合序列的并封闭$\Rightarrow$对可数并封闭，因为，根据集合的运算规则： $$\cup_{i=1}^\infty E_n = \cup_{n=1}^\infty ( \cup_{i=1}^n E_i )$$ 而$(\cup_{i=1}^n E_i),\ \ n = 1, 2, 3, \cdots$是上升的集合序列。
关系：
- B.F.要求最严，显然B.F.是M.C.。
- 已知是Field，那么“是B.F.”和“是M.C.”等价(根据上面的定理)。
- 包含一个Field的M.C.也是Field。
- 包含一个Field的最小M.C.和最小B.F.是一致的。
1) Null set：$A \subseteq R$，任给一个正数$\epsilon$，存在一个区间的序列$\{I_i\}$，$A$可以被这些区间覆盖，并且这些区间的长度的和小于$\epsilon$，$\sum_i l(I_i) < \epsilon$。 可数个null set，$\{A_i\}$的并还是null set。(对任意$\epsilon$，用几何级数$\epsilon/2^i$作为第$i$个null set的覆盖的长度上界，所有这些覆盖的并的长度小于$\epsilon$) 可数集合都是和数个单点集合的并，所以是null set。 2) Cantor set：递归定义$C_0=[0, 1], C_n=(C_{n-1}/3)\cup (2/3 + C_{n-1}/3))$
0到1之间的实数用3进制表达，如果其中不包含1，那么这个数在Cantor set里
先考虑第一分割，新产生的端点为$1/3=0.1, 2/3=0.12222...$，去掉的点都是第一个小数位是1的数。
Outer measure的定义是所有覆盖的长度的下确界，确界的意思是对任意的正数$\epsilon, m ^*(A)+\epsilon$不是下界，也就是可以找到一个覆盖其长度落在$(m ^*(A), m ^*(A)+\epsilon)$里。
区间的Outer measure等于自己的长度，也就是说区间长度是所有覆盖的长度的下确界。
$m^*(I)\leq l(I)$：区间是自己的覆盖，所以其长度大于所有覆盖的下确界。
下面只要证明$m^*(I) < l(I)$不成立就可以了，也就是对任意的正数$\epsilon $可以找到在$(m^* (I), m^* (I) + \epsilon)$的一个覆盖，而且这个覆盖的长度大于$l(I)$。覆盖很容易找，因为Outer measure是下确界，计算长度的时候要用Heine-Borel theorem，先把覆盖变成开覆盖，但是长度又变化很小，然后找出有限开覆盖，这个长度可以计算。
Outer measure is countably subadditive: 也就是并集的outer measure不大于各个集合的outer measure的和。任何单个集合的覆盖，并在一起可以得到并集的一个覆盖。
Outer measure并不是对所有的集合都有可数可加性，即可数个不想交的集合，并集的outer measure等于单个集合outer measure的和。
如果$E$可测，那么对任何集合$A$，有$m^*(A)=m^*(A\cap E) + m^*(A\cap E^c)$，（显然可测的定义对补集运算对称，可测集合的补集一定是可测的）
如果$E$是区间那么$E$可测：对任何的集合$A$，根据Outer measure的定义，要描述$m^*(A)$，需要找一个$A$的覆盖(覆盖的元素是区间)，而$E$和$E^c$也是区间，覆盖和区间的交集还是覆盖，研究这几个覆盖之间的关系可以证明。
$\sigma$-field的定义，以及其上测度的定义($\Omega$为底空间，Field里的元素是底空间子集)
Field $\mathcal{F}$的性质
1) 对补集运算封闭。
2) 对可数并运算封闭。
测度的性质
测度$\mu$定义为Field到正实数的映射，且要求其满足可数可加性。
满足上面公理的三元组记为$(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$。
Outer measure约束在$R$上的可测集上满足上面的$\sigma$-field的定义，以及测度的定义，记为$(R, \mathcal{M}, m^*)$
outer measure的目的主要是为了辨别出可测的集合，构造$\sigma$-field，并在其上定义measure，进而得到measure space三元组。
由上面测度满足的公理可以推出，测度有性质
1)Monotonicity
2)Subadditivity
3)Continuity from below
4)Continuity from above
上面这些性质证明的方法是构造合适的不相交的集合，然后利用可数可加性。
No comments:
Post a Comment