$P(X=a_i)=p_i,\quad P(Y=b_j)=q_j$满足$a_ib_j$各不相等，他们的乘积r.v.是 $$P(XY=a_ib_j)=P[(X=a_i)\cap (Y=b_j)]$$ $Cov$是乘积的期望和期望的乘积都是$a_ib_j$的线性组合，不过系数一个是 $$P[(X=a_i)\cap (Y=b_j)]$$ 另一个是$$P(X=a_i)P(Y=b_j)$$ 很明显如果两个随机变量独立，两个线性组合是相等的。可以看出，对于两个r.v.独立，他们具体取什么值不重要，重要的是他们诱导的在底部概率空间上的划分。
$Cov$把两个r.v.映射到一个实数，一个性质是可以穿过$\sum$。
0.5) 独立和乘积的关系
如果用乘积测度的角度看独立，$P(A), P(B)$是低一维的测度，$P(A\cap B)$是高一维的测度，其实$P(x\in A)=P(x\times y \in A\times \Omega_2)$
联合分布其实就是给出了$X,Y$诱导的底部概率空间的两个划分之间的所有可能的交集的概率测度。
0.6) r.v.的和的分布，$X,Y$各给出了底部概率空间的两个划分 集合$\{P=s\} = \{P(X+Y)=s\}$是满足的$X,Y$取值的配置的交集的概率测度的和。
如果两个r.v.独立，那么表达可以进一步简化，就是交集的概率等于概率的乘积。
1) $n$个r.v. $\{X_j\ |\ 1\leq j\leq n\}$独立的意思是对任意$\{B_j\in\mathcal{B}^1\ | \ 1\leq j\leq n\}$有： $$P\left\{ \cap_{j=1}^n (X_j\in B_j)\right\}=\prod_{j=1}^n P(X_j\in B_j)$$
2) 根据b.f. $\mathcal{B}^1$可以由区间$(-\infty, x]$生成，所以下面也是独立的条件 $$P\left\{ \cap_{j=1}^n (X_j\leq x_j)\right\}=\prod_{j=1}^n P(X_j\leq x_j)$$
3) 如果用这些r.v.在$(\mathcal{R}^1, \mathcal{B}^1)$诱导的测度$\mu_j$，以及在$(\mathcal{R}^n, \mathcal{B}^n)$诱导的乘积测度$\mu^n$，那么独立的条件可以表达成： $$\mu^n\left(\times_{j=1}^n B_j\right)=\prod_{j=1}^n \mu_j(B_j)$$
4) 两个独立随机变量$X_1, X_2$诱导的测度满足：$\mu^2(dx, dy)=\mu_1(dx)\mu_2(dx)$，所以 $$ \begin{align} E(XY) &= \int_{\Omega}X(\omega)Y(\omega)P(d(\omega))=\iint_{\mathcal{R}^2} xy\ \mu^2(dx, dy)\\ &= \int_{\mathcal{R}^1}x\ \mu_1(dx) \int_{\mathcal{R}^1}y\ \mu_2(dx)\\ &= E(X)E(Y) \end{align} $$
5) 如果$\{f_j\ |\ 1\leq j\leq n\}$是可测函数，那么$\{ f_j(X_j) \}$是独立的。
6) $\mu^n$对应的n-dimensional distribution function： $$F(x_1, \cdots, x_n)=P\left\{X_j\leq x_j, 1\leq j\leq n\right\}=\mu^n\left(\times_{j=1}^n(-\infty, x_j]\right)$$ 独立的条件可以写成： $$F(x_1, \cdots, x_n)=\prod_{j=1}^nF_j(x_j)$$ 7) 离散概率空间$\{\Omega_j\}$，他们的乘积空间为$\Omega^n=\Omega_1\times\cdots\times\Omega_n$，如果$X_i, X_j$分别为$\Omega_i, \Omega_j$上的随机变量，那么定义$\Omega^n$上的随机变量$\widetilde{X}_i, \widetilde{X}_j$，$\Omega^n$的点记为$\omega=(\omega_1, \cdots, \omega_n)$ $$ \widetilde{X}_i(\omega)= X_i(\omega_i)\\ \widetilde{X}_j(\omega)= X_j(\omega_j) $$ 是独立的。
注意： $$ \begin{align} \{\omega\ |\ \widetilde{X}_j(\omega)\in B_j\}=\Omega_1\times\cdots\times\Omega_{j-1}\times\{\omega_j\ |\ X_j(\omega_j)\in B_j\}\times\Omega_{j+1}\times\cdots\times\Omega_{n} \end{align} $$
8) $n$维立方体$\mathcal{U}^n=\{(x_1, \cdots, x_n)\ |\ 0\leq x_j\leq 1\}$，测度空间$(\mathcal{R}^n, \mathcal{B}^n, m^n)$，那么b.f. $\mathcal{B}^n$在$\mathcal{U}^n$上的trace是一个概率空间。$\{f_j\ |\ 1\leq j\leq n\}$为$n$个单变量可测函数，定义 $$X_j(x)=f_j(x_j)$$ 为$\mathcal{U}^n$上的$n$个独立的r.v.。
9) 也可以用$(\mathcal{R}^1, \mathcal{B}^1)$上的$n$个概率测度$\mu_j$也可以构造$(\mathcal{R}^n, \mathcal{B}^n)$上的独立随机变量：
10) 上面几个例子都是乘积空间上构造的，也可以在一个抽象的概率空间$(\mathcal{U}, \mathcal{B}, m)$构造，方法是嵌入一个乘积结构。考虑区间$(0,1]$里的数的二进制表达$x=.\epsilon_1\epsilon_2\cdots\epsilon_n\cdots$。那么$\epsilon_j(x)=\epsilon_j$可以看成一个r.v.，取值为0或者1，而且$P(\epsilon_1=0)=P(\epsilon_1=1)=P(\epsilon_2=1)=P(\epsilon_2=1)=1/2$，而且 $$P(\epsilon_1=1\cap\epsilon_2=0)=1/2^2=P(\epsilon_1=1)P(\epsilon_2=0)$$ $\epsilon_1=1\cap\epsilon_2=0$是长度为$1/4$的区间，所以这两个r.v.独立。
11) $\mathcal{B}^2$中不能直接表达为$\mathcal{B}^1$乘积的元素：
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